复数z=a+bi与复平面内的点（a，b）一一对应；复数z=a+bi与向量OZ一一对应,其中Z点坐标为（a，b）。复数x被定义为二元有序实数对(a，b)，记为z=a+bi，这里a和b是实数，i是虚数单位。
在复数a+bi中，a=Re(z)称为实部，b=Im(z)称为虚部。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。
复数由实部和虚部两部分组成。其中实部就是实数，包括有理数和无理数，虚部就是以i为基本单位的虚数。i的定义是，在复数域中，规定i^2=-1，同样（-i）^2=-1。二者加到一块就是复数，比如：1+2i，3+4i，3i等等。就像刚开始只学过正整数后来产生了负整数，后来又产生了分数，分数之后又产生了无理数，而实数之后又诞生了复数。
复数是平面上点和另一平面上的点的一个变换，复数能表示平移，旋转，镜射，伸缩在几何和图形处理有极为重要的应用。电磁波信号就是通过付里叶变换和逆变换实现，它们就是一对复变函数。当今的量子力学的最基本方程，薜定谔方程是由复数来建立。量子力学的理论是基于复变量的希尔伯特空间实现的。流体力学的涡流问题就是复数的奇点理论。电工学的交流电用复数表示比用三角函数表示要方便。就拿中学数学里一个最基本的问题，二次曲线的顶点极点个数，也是要用复数中的共形变换实现。
复数的积分问题上面，有一条，是闭环区域积分为零的定则，可以推知，结合了复数的多项式的曲线变化意味着的三维形式的面积不是按照此法进行的。微积分中有有关于复数的计算，是针对多项式的，说清楚一些，就是部分方程如果不设定复数概念，那会没解。引用复数的概念，对于微分方程来说，就可以使用傅立叶等变换来做解。电气工程中，关于电路的计算问题，引用复数后，电路中的电感电容器件对于电路的运动影响也能表示出来。控制学(所谓的控制论理论，还是自动控制原理的课程)，也会引用复数概念，因为想套用等等变换来解控制系统的微分方程，部分系统，在被构建的时候，甚至就已经使用了复数。
分子分母同乘以分母的共轭复数，这样处理之和，分母变成实数，分子是两个复数相乘，可以根据常规的复数乘法运算处理；
计算复数除法，若是代数式，就将分母实数化，再化简（a+bi)/(c+di)=（a+bi)（c-di)/(c+di)(c-di)=（ac+bd+(bc-ad)i)/(c^2+d^2)；一般化成三角式比较简单；r1(cosθ1+isinθ1)/[r2(cosθ2+isinθ2)]=(r1/r2)[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]；拓展资料：；例如这个式子：(a+bi)÷(c+di)=(ac+bd)/(c2+d2)+〔(bc-ad)/(c2+d2)〕i（字母后面跟“2”为平方的意思）。；复数除法的几何意义是在复平面内，商的模等于被除数和除数和模的商，商的辐角等于被除数和除数和辐角的差。
